Mon nouveau vélo va peser 10 kg, soit 1 kg de moins que l'actuel. Je me suis amusé à calculer combien de temps j'allais "gagner" sur mes parcours. Mon point de vue est celui d'un promeneur cyclo-touriste sur routes et chemins. Compétiteurs et performeurs, fuyez ! En plus, cet article est rempli de formules de physique et de mathématiques. Amis matheux, restez ! Les impatients ou les allergiques aux maths peuvent sauter directement aux résultats à la fin de l'article.

La formule de la puissance

Les forces à vaincre par le cycliste sont son poids, les forces de frottements des roues sur le sol et les forces aérodynamiques :

Si on tient compte de la pente de la route et de la vitesse du vent, et que l'on projette les forces sur l'axe d'avancement du cycliste, on obtient la formule :

où :

• p est la pente moyenne du parcours (un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage);
• m est la masse totale du système : cycliste, vélo, éventuels bagages, etc. (en kg);
• g est l'accélération de la pesanteur (9,80665 m/s²). C'est une constante physique;
• f est le coefficient de frottement (un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage) : il contrôle la rugosité de la route et c'est une valeur comprise entre 0,5 % et 1,5 %. 1 % correspond à une route bitumée et c'est cette valeur que l'on va prendre ici;
• ρ est la masse volumique de l'air (en kg/m²). Sa valeur varie, peu heureusement, en fonction de la température, de la pression et de l'humidité. On va prendre la valeur courante, pour 15°, 1 013,25 hPa et une humidité nulle : 1,225 kg/m²;
• SC_x est le coefficient de résistance à l'air (coefficient aérodynamique) du système vélo, cycliste et éventuels bagages. C'est un nombre compris entre 0 et 1 : 0,25 correspond à un cycliste ayant une position regroupée sur un vélo de contre-la-montre; 0,4 correspond à une position relevée de cyclo-touriste. C'est cette dernière valeur que l'on va retenir ici;
• v est la vitesse moyenne durant le parcours (en m/s);
• V_r est la vitesse moyenne du vent (en m/s) : on va toujours considérer que le vent est nul dans nos calculs.

La puissance P, exprimée en W, étant le produit de la force et de la vitesse

on obtient la formule fondamentale de la puissance en fonction de la masse, de la vitesse moyenne et des autres paramètres :

La puissance développée lors de deux balades

Je vais commencer par établir quelle puissance en W j'utilise généralement dans mes balades. J'ai choisi deux parcours très différents. Le premier est une balade en plaine de 148,5 km (d) parcourue en 7 h 57 min 35 s (t). Le dénivelé était de 1316 m (h). Avec la formule :

on calcule que la pente moyenne est 0,89 %. La masse totale du système était de 83 kg pour le cycliste (tout nu), 1 kg pour ses vêtements (y compris les chaussures), 11 kg pour le vélo (tout nu), 2 kg pour ses accessoires (dont une selle en cuir de 500 g, des garde-boue de 500 g, un porte-bagages de 700 g, etc.) et 2 kg de bagages (eau, sandwich, caméra, batterie supplémentaire, téléphone, papiers, etc.), soit 99 kg au total.

Avec l'équation 1, on calcule que la puissance développée a été durant ce parcours de 128,98 W (voir plus bas une Feuille de calcul complète). Pas tout à fait la même chose que le record de Marco Pantani à l'Alpe d'Huez en 1995 : 468 W... Je me permets de rappeler aux moqueurs, compétiteurs ou performeurs qui sont encore là que je fais une promenade : l'objectif est de prendre l'air, de profiter des paysages et de parfaire mon bronzage.

Le deuxième parcours est une balade en montagne de 47,2 km avec un dénivelé de 1043 m, parcourue en 2 h 56 min 21 s. La pente moyenne est 2,21 %. Ben oui, malgré quelques portions à 12 % dans la montée, quand on tient compte de la descente et du retour par la plaine, cela fait 2,21 %... La masse totale était identique à celle du premier parcours. Avec l'équation 1, on calcule que la puissance développée ce jour là a été de 160,74 W.

On va garder les deux puissances calculées en mémoire et on va maintenant renverser l'équation 1 pour calculer la vitesse moyenne à partir de la masse totale et de la puissance. Ainsi, pour chacun des parcours, on va pouvoir réutiliser la puissance déjà trouvée, enlever à la masse totale 1kg, comme si mon vélo avait pesé 10 kg à la place de 11 kg, en déduire la vitesse moyenne, puis enfin le temps de parcours que j'aurais alors théoriquement réalisés.

La résolution de l'équation du troisième degré

L'équation 1 étant fonction de la vitesse au cube, l'expression de la vitesse en fonction de la puissance et de la masse est le résultat de la résolution d'une équation du troisième degré. Les formules sont plus complexes, mais ça se fait encore bien.

On développe l'équation 1 :

et en posant :

on retrouve la cubique traditionnelle :

On pose encore :

et on peut enfin obtenir la racine réelle de l'équation du troisième degré en v par la formule suivante (c'est une variante de la célèbre formule de Cardan) :

On entre les formules dans un logiciel de calculs mathématiques ou un tableur (voir plus bas une Feuille de calcul complète) et on peut obtenir la vitesse moyenne en fonction de la puissance et de la masse totale. Enfin, si l'on connaît la distance à parcourir, on peut calculer la durée du parcours avec la formule :

C'est fini pour la partie maths.

Feuille de calcul pour LibreOffice

J'ai rassemblé toutes ces formules dans une feuille de calcul pour le tableur de LibreOffice en lien. Il suffit de changer les valeurs et tous les calculs sont faits automagiquement, y compris les conversions d'unités. Elle est pas belle la vie ?

Résultats

Résumé des épisodes précédents pour ceux qui auraient sauté la partie maths : j'ai pris deux parcours très différents parmi mes balades, le premier de 148,5 km en plaine, le deuxième de 42,7 km en montagne et, à l'aide de calculs de puissances, je peux simuler le temps mis pour faire ce parcours avec un vélo moins lourd de 1 kg.

Parcours n°1 :

Parcours n°2 :

Si mon vélo avait pesé 10 kg plutôt que 11, j'aurais épargné 2 min 18 s sur le premier parcours et 1 min 13 s sur le deuxième. En gros, 20 secondes de gagnées par heure de vélo. Pas de quoi se relever la nuit, non ?

Bref, quand on est un promeneur cyclo-touriste sur routes et chemins, le poids du vélo, on s'en tape.