Cet article explique comment, sur une calculette HP-15C :

• programmer une fonction f;
• calculer des images;
• calculer des approximations des solutions de l'équation f(x) = 0;
• calculer une approximation de l'intégrale de f entre deux bornes finies.

On traite cela avec l'exemple de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³+2x²−3x−5.

Entrée de la fonction

On programme la fonction. Pour cela, on se place en mode Programme (g P/R), on commence par donner une étiquette au programme (f LBL A) puis on entre les instructions exactement comme si l'on faisait un calcul. On termine par l'instruction g RTN. On sort du mode Programme par un nouveau g P/R :

g P/R

   000 {             }
   001 {    42 21 11 } f LBL A
   002 {       44  0 } STO 0
   003 {           3 } 3
   004 {          14 } y^x
   005 {       45  0 } RCL 0
   006 {       43 11 } g x²
   007 {           2 } 2
   008 {          20 } ×
   009 {          40 } +
   010 {       45  0 } RCL 0
   011 {           3 } 3
   012 {          20 } ×
   013 {          30 } -
   014 {           5 } 5
   015 {          30 } -
   016 {       43 32 } g RTN

g P/R

La fonction est maintenant accessible via l'étiquette A (f LBL A).

Calcul d'images

On veut calculer f(−5). On entre :

5
CHS
f A

On obtient −65.

Calcul de solutions à l'équation f(x) = 0

On veut trouver des approximations des solutions à l'équation f(x) = 0. On estime deux valeurs autour desquelles, ou entre lesquelles, on espère trouver une solution : par exemple 0 et 10. On entre :

0
ENTER
1
0
f SOLVE A

On obtient 1,6511.

Si l'on cherche une solution avec les valeurs initiales −10 et 0:

1
0
CHS
ENTER
0
f SOLVE A

On obtient −1,2739.

On peut trouver la troisième solution avec les valeurs initiales −4 et −3 :

4
CHS
ENTER
3
CHS
f SOLVE A

On obtient −2,7772.

Quelques remarques en vrac :

• Les solutions trouvées sont généralement très précises, tant que la fonction est continue sur un intervalle centrée autour de la solution, même si elles restent des approximations.
• À la fin du calcul, l'image de la solution trouvée se trouve dans le registre Z de la pile, ce qui permet d'estimer sa précision. La précision dépend d'ailleurs du réglage de la mantisse avant le lancement du calcul : au besoin, f FIX 9 devrait donner les résultats les plus précis.
• Si la calculette ne trouve pas de solution, elle affiche Error 8. On peut toujours essayer avec d'autres estimations initiales, mais sans doute vaut-il mieux étudier un peu plus complètement la fonction...
• f étant dans l'exemple précédent un polynôme du 3e degré, il y a au moins une solution sur ℝ.
• Une des méthodes les plus simples pour estimer les intervalles de recherche consiste à chercher, par tests successifs, des images de signes opposés : si l'on sait comme ici (ou si on fait l'hypothèse) que la fonction est continue sur cet intervalle, on y trouvera au moins une solution.
• L'algorithme de calcul utilisé étant la méthode des sécantes, il est tout à fait normal que certaines des solutions trouvées soient en dehors de l'intervalle des valeurs initiales estimées.

Calcul de l'intégrale de f entre deux bornes finies

On veut trouver une approximation de l'intégrale de f entre −3 et 2. On entre :

3
CHS
ENTER
2
f ∫xy A

On obtient −10,4167.

L'approximation est généralement précise tant que la fonction est assez "régulière" sur l'intervalle d'intégration, à comprendre dans le sens où la fonction ne présente pas de pics trop fins et que l'intervalle d'intégration n'est pas trop grand. Le risque est alors que l'échantillonnage "rate" les pics. De toute façon, ce calcul reste une approximation.

Alternative pour l'entrée de la fonction

La programmation de la fonction ci-dessus utilise le registre Rₒ, qui étant un succédané de variable, rend la formulation relativement commune. On peut très souvent aussi utiliser la technique du « remplissage de pile », qui consiste à remplir la pile opérationnelle avec le nombre initial, ce qui le rend toujours disponible dans la suite des calculs (à moins que l'expression ne soit vraiment très très complexe...) :

   000 {             }
   001 {    42 21 11 } f LBL A
   002 {          36 } ENTER
   003 {          36 } ENTER
   004 {          36 } ENTER
   005 {           3 } 3
   006 {          14 } y^x
   007 {          34 } x↔y
   008 {       43 11 } g x²
   009 {           2 } 2
   010 {          20 } ×
   011 {          40 } +
   012 {          34 } x↔y
   013 {           3 } 3
   014 {          20 } ×
   015 {          30 } -
   016 {           5 } 5
   017 {          30 } -
   018 {       43 32 } g RTN

Les trois ENTER successifs assure le remplissage de la pile avec le nombre initial et les x↔y le mette à disposition pour le calcul partiel suivant. Aucun registre n'est utilisé.